chứng minh bất đẳng thức sau ;
\(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\ge8\) với \(\left(\forall a,b,c>0\right)\)
các bạn giải chi tiết ra giùm mình nhé! cảm ơn nhiều à nhen !
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DT
17 tháng 8 2019
Với a,b,c,d >0. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(c+d\ge2\sqrt{cd}\)
Do đó : \(a+b+c+d\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{cd}\) \(=2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)\) (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :
\(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\ge2\sqrt{\sqrt{ab}.\sqrt{cd}}=2\sqrt[4]{abcd}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có : \(a+b+c+d\ge4\sqrt[4]{abcd}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\)
\(\left(\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4\ge abcd\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=d\)
R
1 tháng 6 2017
Câu 2 : x^+x+y^2+x = x(x+1) +y(y+1) chia cho vế trái (x+1)(y+1) ...
Bài toán dễ dàng :V
1 tháng 6 2017
Mình nhớ có học qua rùi mà dốt quá trả chữ cho thầy cô hết trơn :)
TN
6 tháng 4 2017
Dễ thấy: \(a^2;b^2;c^2\ge0\forall a;b;c\) mà \(a;b;c\ne0\) nên chỉ có \(a,b,c>0\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+\frac{1}{a^2}\ge2\sqrt{a^2\cdot\frac{1}{a^2}}=2\sqrt{1}=2\)
\(b^2+\frac{1}{b^2}\ge2\sqrt{b^2\cdot\frac{1}{b^2}}=2\sqrt{1}=2\)
\(c^2+\frac{1}{c^2}\ge2\sqrt{c^2\cdot\frac{1}{c^2}}=2\sqrt{1}=2\)
Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)\ge2\cdot2\cdot2=8\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
T
22 tháng 8 2016
Không mất tính tổng quát giả sử \(1\le a\le b\le c\le2\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}\le1\\\frac{b}{c}\le1\end{cases}\Rightarrow\left(1-\frac{a}{b}\right)\left(1-\frac{b}{c}\right)\ge0}\)(1)
Tương tự ta có \(\left(1-\frac{b}{a}\right)\left(1-\frac{c}{b}\right)\ge0\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)\le2\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{a}{c}\right)+3\le5+2\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)(2)
Mà :\(\left(2-\frac{a}{c}\right)\left(\frac{1}{2}-\frac{a}{c}\right)\le0\Rightarrow\frac{1}{2}-\frac{a}{c}\le0\Leftrightarrow\frac{1}{2}\le\frac{a}{c}\le1\Rightarrow\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\le\frac{5}{2}\)
\(\left(3\right)\Leftrightarrow3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\le5+\frac{2.5}{2}=10\Rightarrow dpcm\)
Dấu= xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)\in\left\{\left(1,1,2\right);\left(2,2,1\right)\right\}\)và các cặp hoán vị của nó
\(\)
22 tháng 8 2016
1/ Cho \(a,b,c\ge1\)Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{a\left(b+1\right)}+\frac{1}{b\left(c+1\right)}+\frac{1}{c\left(a+1\right)}\ge\frac{3}{1+abc}\)
2/ Cho \(a,b,c,d\in\left[0;1\right].\)Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{bc+cd+db+1}+\frac{b}{cd+da+ac+1}+\frac{c}{da+ab+bd+1}+\frac{d}{ab+bc+ca+1}\le\frac{3}{4}+\frac{1}{4abcd}.\)
3/ Giả sử\(a,b>0\)và
Dat \(P=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)
Ta co: \(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Ta d̃i CM:\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Ta co:\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\left(dpcm\right)\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c\)